“区间估计，是点估计外，另一种重要的参数估计的方法。”
之前的统计学系列文章中，我们介绍了《总体样本与统计量》、《卡方分布、t分布等抽样分布》、《极大似然估计与参数估计》等内容。其中矩估计和极大似然估计都属于点估计。今天我们分享一下区间估计的概念和方法。
01—置信区间和枢轴变量的定义首先介绍一下置信区间和枢轴变量的概念。
（1）置信区间之前的文章中介绍过区间估计的定义，就是给出的参数估计是个区间，比如某省人的平均身高是160cm~173cm之间。这就是一个区间估计。
很容易想象到，估计的区间越小，越精准。但是明显，相应的，真实参数值落在区间里的概率也就越小了。这是矛盾的，两者不可得兼，需要平衡。
因此，区间估计时，两个参数很重要：区间长度和参数落在区间的概率（即置信度）。即：
P（θ1≤θ≤θ2）=1-α
区间 [θ1,θ2 ] 就是要估计的区间，1-α就是置信度。为啥用1-α呢？因为后面α会用到。
（2）枢轴变量枢轴变量是整个区间估计的核心，但概念稍微难理解一些。
首先看看定义：从θ的一个点估计出发，构造与θ相关的一个函数G，使得G的分布是已知的，而且与θ无关。通常称这种函数为枢轴变量。
通俗点讲，其实枢轴变量就是一个函数，这个函数的目的是把目前未知的分布转化成我们已知的分布（比如正态分布、卡方分布、t分布等）。
转化成已知分布干嘛呢？因为已知分布中，概率密度函数是已知的，因此可以基于置信度求得已知分布的区间。已知分布的区间知道了，再根据构造的枢轴变量，反推要估计的区间，即完成了区间估计的过程。
这里我们先按照比较容易的情况（一个正态总体）为例，看看如何进行区间估计。
既然是一个正态总体了，所以要进行区间估计的参数无非两个：均值和方差。首先，有下面的概况表：
啥意思呢？对于总体均值和方差，无非有以下几种情况。针对不同情况，我们需要构造不同的枢轴变量，因此也服从了不同的分布。（细心的朋友应该能发现，这些枢轴变量在《抽样分布》中，我们介绍过。当初大家可能不理解，他们的作用其实主要就是用在区间估计）
（1）总体方差已知，估计总体均值在这种情况下，我们构造的枢轴变量是：
这个服从标准正态分布。为啥用这个函数作为枢轴变量呢？仔细看内容便知道，函数共有4个参数：样本均值X（已知，可以用过样本求出来），总体均值μ（未知，是我们要估计的参数），样本标准差σ（已知，可以通过样本求出来），样本量n（已知，即样本个数）。
因此，只有总体均值μ未知。而右侧的分布是已知的，那我们就可以用右侧正态分布的特征求出来总体均值的区间：
在这种情况下，我们构造的枢轴变量是：
对，这个枢轴变量之前也介绍过。为啥构造这个枢轴变量呢？如果理解了上面的例子，就很容易理解这个了。因为总体方差是未知的，而（1）中用到了总体方差，所以就出现了两个未知变量（总体方差和总体均值），所以就没法求了。
而这里构造的服从t分布的枢轴变量，包括的四个参数，有三个是已知的，只有总体均值是未知的，所以可以利用t分布求总体均值的区间估计。
具体的估计范围不写了，直接看上面黑板截图的内容即可。
（3）总体均值已知，估计总体方差这种情况下构造的枢轴变量是：
道理和上面两个例子一样，就不展开了。具体的区间估计范围也是参照黑板截图。
（4）总体均值未知，估计总体方差最后一种情况，构造的枢轴变量是：
这里和（3）中的枢轴变量的唯一差别，是括号中减的是样本均值还是总体均值。如果是样本均值，则服从自由度是n-1的卡方分布；如果是总体均值，则服从自由度是n的卡方分布。
关于区间估计的内容，就先分享这些。后续分享统计学中假设检验相关的内容，欢迎继续关注。
-END-
以上就是关于区间估计：置信区间、枢轴变量的概念及区间估计的方法刘易阳童佳倩全部的内容，关注我们，带您了解更多相关内容。
特别提示：本信息由相关用户自行提供，真实性未证实，仅供参考。请谨慎采用，风险自负。
